Racines n-ièmes de l'unité - Définition

Définition

Soit `n \in \N^\ast` . On appelle racine \(\boldsymbol n\) -ième de l'unité tout nombre complexe `z` tel que `z^n=1` .

Remarque

Les racines `n` -ièmes de l'unité sont les solutions de l'équation `z^n=1` d'inconnue `z \in \C` . En particulier,  `1` est une racine `n` -ième de l'unité pour tout `n \in \N^\ast` .

Exemples

• Les racines carrées de l'unité sont les nombres complexes `z` tels que `z^2=1` .   Il s'agit de  `1` et `-1` .
• Les racines cubiques de l'unité sont les nombres complexes `z` tels que `z^3=1` .  Il s'agit de `1` , \(j=\text e^{\frac{2i\pi}{3}}\) et `\overline{j}=\text e^{\frac{-2i\pi}{3}}` .
• Les racines quatrièmes de l'unité sont les nombres complexes `z` tels que `z^4=1` .  Il s'agit de `1` , `i` , `-1` et `-i=\overline{i}` .
  

Remarque

Grâce aux exemples ci-dessus, on peut remarquer que les racines `n` -ièmes de l'unité sont réparties « équitablement »  sur le cercle trigonométrique, dans le sens où elles sont situées à égale distance les unes des autres. Cela nous permet de conjecturer plusieurs choses, que l'on démontrera ensuite :

• les racines `n` -ièmes de l'unité sont sur le cercle trigonométrique, donc elles sont toutes de module  `1`  ;
  
• comme elles sont réparties « équitablement »  sur le cercle trigonométrique qui est de longueur `2\pi` , et comme le nombre complexe  `z=1` d'argument `0` est toujours une   racine `n` -ième de l'unité, les arguments des   racines `n` -ièmes de l'unité sont des multiples de `\frac{2\pi}{n}` .
  

Par conséquent, il semble qu'une  racine `n` -ième de l'unité s'écrive sous la forme \(z=\text e^{ik \times \frac{2\pi}{n}}=\text e^{2ik\frac{\pi}{n}}\) avec `k \in \mathbb{Z}` .