Racines n-ièmes de l'unité - Définition

Définition

Soit $n\in {\text{N}}^{\ast }$ . On appelle racine $\mathit{n}$ -ième de l'unité tout nombre complexe $z$ tel que $z^n=1$ .

Remarque

Les racines $n$ -ièmes de l'unité sont les solutions de l'équation $z^n=1$ d'inconnue $z\in \text{C}$ . En particulier,  $1$ est une racine $n$ -ième de l'unité pour tout $n\in {\text{N}}^{\ast }$ .

Exemples

• Les racines carrées de l'unité sont les nombres complexes $z$ tels que $z^2=1$ .   Il s'agit de  $1$ et $-1$ .
• Les racines cubiques de l'unité sont les nombres complexes $z$ tels que $z^3=1$ .  Il s'agit de $1$ , $j={\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}}$ et $\bar{j}={\text{e}}^{\frac{-2i\pi }{3}}$ .
• Les racines quatrièmes de l'unité sont les nombres complexes $z$ tels que $z^4=1$ .  Il s'agit de $1$ , $i$ , $-1$ et $-i=\bar{i}$ .
  

Remarque

Grâce aux exemples ci-dessus, on peut remarquer que les racines $n$ -ièmes de l'unité sont réparties « équitablement »  sur le cercle trigonométrique, dans le sens où elles sont situées à égale distance les unes des autres. Cela nous permet de conjecturer plusieurs choses, que l'on démontrera ensuite :

• les racines $n$ -ièmes de l'unité sont sur le cercle trigonométrique, donc elles sont toutes de module  $1$  ;
  
• comme elles sont réparties « équitablement »  sur le cercle trigonométrique qui est de longueur $2\pi$ , et comme le nombre complexe  $z=1$ d'argument $0$ est toujours une   racine $n$ -ième de l'unité, les arguments des   racines $n$ -ièmes de l'unité sont des multiples de $\frac{2\pi }{n}$ .
  

Par conséquent, il semble qu'une  racine $n$ -ième de l'unité s'écrive sous la forme $z={\text{e}}^{ik\times \frac{2\pi }{n}}={\text{e}}^{2ik\frac{\pi }{n}}$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .